< 1 >
Предисловие
Математика - очень гибкий язык. Существует множество способов выразить одно и то же вычисление. В качестве примера можно привести простое деление
Это также может быть записано как
или как
Особой разницы в этом нет. Только мошенник увидит, как круто нарисована дробная линейка. Бухгалтер предпочитает обозначение
и это выглядит довольно странно. В начальной школе вы изучали, как вычисляется деление
Здесь показано, как это делается. Вы видите, что существует много возможностей выразить одну и ту же операцию. И так почти всегда происходит в математике. Тема такая: Многие дороги ведут в Рим. В средней школе вы изучали еще один метод
В наши дни вычисления производятся с помощью 10 цифр, так называемых арабских цифр. Кстати, они были изобретены в Индии. Что входит в название? Если вы складываете числа, то работаете справа налево, хотя мы всегда пишем слева направо. Из-за этого цифры должны быть выровнены по правому краю, это пришло от арабов, но, возможно, вы никогда этого не замечали. Условные обозначения таковы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Здесь вы начинаете с 0. Вам сказали, что это несколько особенное число, и с ним следует быть осторожным. Например, деление на ноль не допускается. В прежние времена использовались римские цифры. Иногда их можно встретить в качестве украшения на зданиях. Условные обозначения таковы
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ
Число 0 здесь не существует. Ноль - это просто ничто. Сотни лет велись споры о том, является ли 0 вообще реальным числом. Теперь этот вопрос решен. Однако вы все равно столкнетесь с некоторыми необычными деталями. Итак, почему на самом деле
Ответ таков
Это относится к любому числу, но что насчет
Тогда деление на ноль недопустимо. Умножение на 0 возможно, потому что
02 = 0
01 = 0
00 = ?
Забавно. Для такого рода задач математики нашли довольно элегантное решение. Оно определяется по определению. Таким образом, 00 ≝ 1. Было показано, что большинство вычислений дают правильный результат, если взять 00 ≝ 1, но вы должны быть очень внимательны и тщательно проверять результат, так как в вашем частном случае он вполне может быть другим. Исключение подтверждает правило.
Цифры были придуманы людьми. Природа работает по-другому. Существует также понятие бесконечности. В математике вы используете символ ∞. Но будьте осторожны: бесконечность - это не число. С ней можно производить вычисления, и иногда получаются удивительные результаты
∞ + ∞ = ∞
и даже
0 × ∞ = ?
Таким образом, умножение на ноль не всегда дает ноль. Возможно, вы уже не так сильно удивлены. Но все может стать еще хуже. Существуют константы, которые вы не можете выразить в виде точного числа. Самая известная константа - пи, которая записывается греческой буквой π. Вы знаете ее из формул для окружностей
Уже древние греки заметили, что константа описывает соотношение между окружностью и диаметром D круга
π = окружность D
и что она также описывает соотношение между площадью и радиусом r круга
π = площадь r2
Значение равно
Один квинтиллион цифр за десятичной точкой уже был вычислен, и никогда не возникает закономерность, которая повторяется. Математики доказали, что этого никогда не произойдет, и поэтому называют его трансцендентным числом. Другая известная трансцендентная константа - e, основание логарифма Непера. Она нужна, чтобы рассчитать, как размножаются бактерии, или вычислить, как радиоактивное загрязнение уменьшается со временем. Его значение
На этом сайте объясняется, как было открыто это число и где его применять в расчетах. Более того, математики доказали, что существует бесконечное число трансцендентных констант, но никто их не знает, и мы понятия не имеем, для чего их использовать. Это и есть высшая математика. Теперь вернемся к чему-то более простому. Если вы сложите бесконечный ряд
можно продолжать бесконечно. Но есть более быстрый способ. Пожалуйста, посмотрите это. Вы можете удвоить член и тут же вычесть его снова. Тогда вы получите исходное значение, потому что
2 × 3 − 3 = 3
или
2 яблока – 1 яблоко = 1 яблоко
Примените эту схему к ряду, так
тогда после вычисления получается
а это снова
Это именно 1, а не что-то загадочное типа "В бесконечном приближается к 1". Существует тонкая разница между теоретически бесконечным и физически бесконечным. Давайте теперь перейдем к бесконечно малым. В математике это часто записывается как Δx→0 и означает: Приближается к 0, но не равно нулю, и поэтому допускается деление на Δx. Иногда даже необходимо различать
Если вы думаете, что это сбивает с толку, то посмотрите, пожалуйста, следующее
Это кажется ясным. Но также легко можно объяснить следующее
Если опустить скобки в обоих вычислениях, то получается
и теперь мы уже не знаем ответа. Что здесь происходит? Математикам не нравятся вычисления, в которых возникает это явление. А вам нравятся такие вопросы? Хотите узнать больше о ничто, бесконечности или больше, чем бесконечность? Тогда вы должны продолжить этот документ.
Иногда при вычислениях приходится применять фокус-покус. И кстати: Для чего вам на самом деле нужна математика? Ну, это зависит от вас. В большинстве профессий можно прекрасно работать и без нее. Но, возможно, интересно узнать, что возможно - или просто невозможно.
С помощью математики нельзя предсказать будущее.