< 1 >
Правило цепочки
Используя правило цепочки, вы можете определить производную составных функций
для функции f (x) = y (u (v (x))).
Пояснение
Мы предполагаем здесь составную функцию
f (x) = y (u (x))
Тогда для производной
Но теперь мы совершаем переход
Однако вы можете сделать не только это. Когда Δx приближается к нулю, Δu не должно становиться нулем, иначе образуется дробь, знаменатель которой равен 0, а это неопределено. Мы проверим это дополнительно позже. Для предел произведением применяется
Когда Δx приближается к нулю, Δu также приближается к нулю или даже становится равным нулю. Для первого предела теперь заменим x на u и получим
Также контролируя ситуацию Δu = 0, мы отмечаем
Таким образом, мы приходим к выводу, что следующее также должно выполняться
Вы можете догадаться, как это продолжается.
Пример 1
Возьмем составную функцию
В нее подставляем u = x2 + 3 и записываем
Применяя правило цепочки, производная равна
и, наконец
Если мы сначала решим функцию, то увидим
Разумеется, мы получим тот же ответ.
Пример 2
Используя правило цепей, вычислим производную y = 2u2– 2, где u = 3x + 1