Grenzwert mit dem Sinus
Ein standard Grenzwert mit dem Sinus ist
Erläuterung
Wir verwenden den Einheitskreis
und zeichnen drei Flächen hinein. Wir werden den Grenzwert durch einen Vergleich dieser Flächen ermitteln.
Die Fläche eines Dreiecks ist , und von einem Sektor ist sie
, also
| Dreieck OCA | = | ||
| Sektor ODA | = | ||
| Dreieck OEA | = |
In der Zeichnung siehst du klar das Verhältnis der Flächen, und die lautet
Multiplizieren mit 2 ergibt
und dividieren durch sin θ ergibt
Wenn θ → 0+ dann nähert cos θ → 1 und daraus folgt
sodass
Das ist ein wichtiger trigonometrischer Grenzwert.