Logaritme van een complex getal
De logaritme van een complex getal is de meerwaardige functie
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Uitleg
Een complex getal schrijf je met poolcoördinaten als z = r · eiφ. Als we aannemen dat de logaritme hiervan het complexe getal x + i y is, dan krijg je
Hierin zijn dan
zodat
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
De logaritme van een complex getal heeft dus oneindig veel waardes, die allemaal hetzelfde reële deel ln r hebben en die in het imaginaire deel steeds een veelvoud van 2π van elkaar verschillen.
Voor k = 0 krijg je de hoofdwaarde.
Voorbeeld 1
Negatieve getallen zijn een bijzonder geval van complexe getallen. Zo is z = −1 een complex getal op de eenheidscirkel met straal r = 1 en een halve cirkel gedraaid φ = π. De logaritme van −1 heeft een hoofdwaarde van
ln (−1) = ln (1) + πi = πi