Логарифм комплексного числа
Логарифмом комплексного числа называется полиномиальная функция
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Пояснение
Комплексное число с полярными координатами записывается в виде z = r · eiφ. Если предположить, что его логарифмом является комплексное число x + i y is, то получим
В этом случае
поэтому
ln z = ln r + (φ + 2kπ) i
Таким образом, логарифм комплексного числа имеет бесконечно много значений, все из которых имеют одну и ту же действительную часть ln r, а в мнимой части всегда отличаются на величину, кратную 2π.
Для k = 0 получается главное значение.
Пример 1
Отрицательные числа являются частным случаем комплексных чисел. Например, z = −1 - комплексное число на единичном круге радиуса r = 1 и полукруге, повернутом на угол φ = π. Логарифм от −1 имеет главное значение
ln (−1) = ln (1) + πi = πi