Logarithmus einer negativen Zahl
Der Logarithmus einer negativen Zahl ist die mehrwertige Funktion
Hier wird der natürliche Logarithmus als log geschrieben.
Erläuterung
Jede negative Zahl ist eine komplexe Zahl. Mit Polarkoordinaten (r, θ) kann man negative Zahlen beschreiben, denn sie liegen in der komplexen Ebene auf der reellen x-Achse, wobei θ = 0, ±π, ±2π, ... ist.
Die Definition des Logarithmus kann auf negative und komplexe Argumente erweitert werden. Ein Logarithmus ist der Kehrwert einer Exponentialfunktion. Für die komplexe Zahl w gilt
ew = z mit als Inverser w = log z
Man spricht von einem Logarithmus, weil es bei z unendlich viele Zahlen w gibt, die als Logarithmen wirken. Sie unterscheiden sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2πi. Dies liegt daran, dass e2nπ i = 1 ist. Schreiben wir z als
mit Absoluter Wert r und Argument φ, dann ist jede der Zahlen
ist ein Logarithmus von z. Der Logarithmus für komplexe Zahlen z ist eine mehrwertige Funktion
Der Wert des Logarithmus für n = 0 wird als Hauptwert des Logarithmus bezeichnet. Das Argument von z im Intervall [0, 2π) wird als Hauptwert bezeichnet. Das Intervall (−π, π] wird ebenfalls als Hauptwert gewählt.
Beispiel 1
Negative Zahlen sind ein Spezialfall der komplexen Zahlen. Somit ist z = −1 eine komplexe Zahl auf dem Einheitskreis mit dem Radius r = 1 und einem Halbkreis mit der Drehung φp = π. Der Logarithmus von −1 hat somit einen Hauptwert von
log (−1) = log (1) + πi = πi.