Ряд Маклорена
Ряд Маклорена позволяет преобразовывать функции для упрощения вычислений
taylor  = f⁽⁰⁾(0) ∕ 0! + {f⁽¹⁾(0) ∕ 1!}x + {f⁽²⁾(0) ∕ 2!}x² + {f⁽³(0) ∕ 3!}x³+ ⋯ .gif)
Пояснение
Основная теорема математики гласит, что функцию всегда можно привести к виду
Здесь мы берем функцию третьей степени, которую запишем как
 = ax³ + bx² + cx + d.gif){kind=small}
Мы продифференцируем эту функцию несколько раз, запишем это очень точно, а затем посмотрим
В этом есть строгая закономерность. Коэффициенты членов продолжают эволюционировать, в конечном итоге становясь нулевыми, а затем исчезая. Это особенно очевидно в точке x = 0, потому что там получается
Здесь мы видим факториал и записываем его как
Преобразование дает
,
,
,
Коэффициенты исходной функции определяются производными этой функции в точке x = 0. Если мы заполним ее, то получим
Расположим члены в обратном порядке и увидим
Это справедливо для функции третьей степени. Теперь мы смело утверждаем, что общее должно держаться
и это действительно оказывается правдой.
Пример 1
Для любого значения x экспоненциальная функция имеет ряд эволюции
ИсторияШотландский математик Колин Маклаурин (1698 - 1746) наиболее известен благодаря ряду Маклаурина. |