Unendlich klein ist nicht Null
In der Mathematik gibt es einen Unterschied zwischen unendlich klein und null. Das ist nicht immer sofort sichtbar, spielt aber eine entscheidende Rolle in Berechnungen.
Erläuterung
Wir haben in der Grundschule gelernt, dass
,
,
, … usw.
Das Ergebnis wird immer kleiner. Wenn wir durch unendlich groß dividieren wird das Ergebnis denn auch
Es nähert sich nicht 0 sondern ist 0. Unendlich ist keine Zahl (es hat keinen bestimmten Wert), und bei der Zahl 0 – die hier als Ergebnis aufgeführt wird – muss man immer Acht geben. Stimmt die Berechnung nun oder ist die ganze Mathematik doch bloß Zauberei? Das wollen wir hier mal genau untersuchen.
Untersuchung
Wir fangen an mit der Formel
wovon wir vermuten, dass es 1 wird für n→∞, denn
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Das ist jedoch falsch. So darf man nicht rechnen. Lassen wir vorsichtshalber erst mit Zahlen rechnen. Starten wir mit n = 1, das ergibt
Das ist schon mal das Doppelte. Nun nehmen wir n = 2, und bekommen
das ist sogar noch etwas mehr. Wir sehen schon das sich die Stelle vor dem Komma nicht mehr verändern kann. Dann auch mal mit n = 3, um zu sehen ob das so schön weiter geht, und stellen fest
Probieren wir es auch mal mit n = 100, und bekommen
Wenn wir noch weiter machen werden wir feststellen, dass nun auch die erste Stelle hinterm Komma sich nicht mehr verändert. So können wir immer weitere Nachkommastellen berechnen. Was ist hier nun eigentlich los? Wir haben vorher nicht richtig gerechnet. Darum machen wir es jetzt noch ein mal, und benutzten die Binomium Entwicklung, denn zuerst muss die Potenzrechnung durchgeführt werden. Das ergibt
Wir dürfen den Begriff unendlich nicht als eine normale Zahl behandeln und müssen deswegen sehr genau spezifizieren, dass n unendlich groß wird. Das schreiben wir als
Die aufeinanderfolgenden Terme ergeben
1 = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
-------
e = 2,718…
Die Antwort ist auf 3 Stellen genau. Es ist die Basis e des natürlichen Logarithmus. Es wurden schon eine Trillion Zahlen hinterm Komma berechnet, und es entsteht nie ein Muster das sich wiederholt. Mathematiker haben gezeigt, dass dies auch nicht passiert, und nennen es eine transzendente Zahl.