Oneindig klein is niet nul
Je moet een verschil maken tussen oneindig klein en nul. Dat is niet altijd meteen zichtbaar, het speelt echter een beslissende rol in berekeningen.
Uitleg
We hebben op de basisschool geleerd dat
,
,
, … etc.
Het resultaat wordt steeds kleiner. Als we door oneindig groot delen wordt het resultaat dan ook
Het nadert niet naar 0 maar het is 0. Je mag dit in een berekening echter nooit zomaar invullen. Oneindig is geen getal (het heeft geen vaste waarde) en er gelden daarom speciale regels.
Onderzoek
We gaan uit van de formule
waarvan we vermoeden dat dit 1 op zal opleveren voor n→∞, want
.gif){kind=small}
Dat is echter fout. Zo mag je niet rekenen. Laat ons eerst met getallen rekenen, en beginnen met n = 1, dat levert
Dat is al het dubbele. Nu nemen we n = 2, en krijgen
Dat is zelfs nog iets meer. We zien al dat de plaats voor de komma nu niet meer veranderen kan. Dan ook met n = 3, om te kijken of het zo mooi verder gaat, en stellen vast dat
Proberen we het ook met n = 100 en zie daar
Als we nog verder gaan zullen we vaststellen dat ook de eerste plaats achter de komma niet meer verandert. Zo kunnen we, met enige inspanning, steeds meer plaatsen berekenen. Wat is er hier nu eigenlijk aan de hand? We hebben in het begin niet goed gerekend. Daarom doen we het nu nog eens dunnetjes over, en gebruiken de binomium ontwikkeling, want volgens de rekenregels moet je eerst machtsverheffen. Dat levert
Wij mogen oneindig niet als een normaal getal behandelen, en moeten heel nauwkeurig aangeven dat n oneindig groot wordt. Dat schrijf je als
Daarin geven de opvolgende termen
1 = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
-------
e = 2,718…
Je moet met oneindig dus werkelijk goed oppassen.