< 1 >
Бесконечно малое не равно нулю
Существует четкая разница между бесконечно малым и нулем. Он не имеет определенного значения, и на это следует обращать пристальное внимание при расчетах.
Пояснение
Мы называем это бесконечно малое значение Δx, и всегда помним, что Δx→0. Таким образом,
поскольку Δx пренебрежимо мала. Поскольку Δx все еще имеет значение, вы можете разделить на него. В дальнейшем исследовании мы используем формулу
и вычислить, признаться, с закрытыми глазами, сначала
.gif){kind=small}
Однако это неверно. Вы не имеете права так рассчитывать. Попробуем еще раз, но в более удачном варианте, и начнем с n = 0. Для каждого числа a ≠ 0 применяется a0 = 1. Таким образом, наша формула дает
Все кажется очень понятным. Результат одинаков в двух предыдущих расчетах. Мы продолжаем с n = 1 и вычисляем
Это странно, потому что это другой результат, чем тот, который был получен при расчете, когда у нас были включены мигалки. Теперь попробуем с n = 2 и посмотрим
Затем, конечно, попробуем это сделать с n = 3 и получим
Очевидно, что (1 + Δx) меньше, чем (1 + Δx)2, который в свою очередь меньше, чем (1 + Δx)3. Это может быть объяснением. Но это не может быть правильным. Потому что мы уверены, что
Более того, мы уже видели, что
и тогда любая другая экспонента, назовем ее просто n, конечно же, также должна давать 1, поскольку в общем случае имеет место
Что же пошло не так? Да, здесь становится ясно, что бесконечно малая - это все-таки что-то иное, чем ноль. Большая ошибка была допущена в самом начале, потому что задача должна быть записана как
потому что в действительности это предел. В таких случаях действуют особые правила, и они были нарушены. Никогда не следует применять ограничение к ограниченной части расчета. Таким образом, была допущена ошибка, поскольку
И это имело фатальные последствия, как мы уже видели.