< 1 >
Частичная интеграция
Формула для частичного интегрирования имеет вид
Эта формула имеет смысл, только если интеграл ∫ v du решается проще, чем исходный интеграл ∫ u dv.
Пояснение
Если функции u (x) и v (x) дифференцируемы в интервале (a, b), то функция u (x) · v (x) также дифференцируема в (a, b). Правило произведения
Интеграция обоих членов дает
такой, что
Пример 1
В задаче мы можем дифференцировать x и интегрировать cos x. Поэтому мы принимаем
Заполнение дает
Пример 2
В задаче мы можем продифференцировать ln x и проинтегрировать x. Поэтому мы принимаем
Заполнение дает
Пример 3
Если мы запишем задачу так, как
мы можем дифференцировать ln x и интегрировать 1. Поэтому мы принимаем
Заполнение дает