Plus-unendlich
In der Mathematik gibt es den Begriff unendlich. Er wird dargestellt mit dem Symbol ∞. Aber gib Acht: Unendlich ist keine Zahl. Du darfst aber damit rechnen. Überleg jedoch gut, was du machst, denn es gibt manchmal Überraschungen.
Erläuterung
Zuerst addieren wir
∞ + 1 = ∞
Das funktioniert so für jede Zahl, und sogar mit
∞ + ∞ = ∞
Du kannst auch subtrahieren
∞ − 1 = ∞
Dieses Ergebnis bekommst du mit jeder Zahl. Jedoch
ist unbestimmt. Eigentlich ist das logisch, denn ∞ hat keinen festen Wert. Multiplizieren geht auch. Wir tun es hier mit einer positiven Konstante k und sehen dann
∞ × k = ∞
Jetzt wenden wir uns der Division zu. Dabei muss man immer sehr gut aufpassen, und hier ganz besonders, denn
und du ahnst schon, dass allgemein gilt
Da kann man sich noch etwas bei einfallen lassen, aber es bleibt seltsam. Außerdem wirst du gleich sehen, dass es noch böse Folgen hat. Und gib Acht, denn
Das können wir jetzt wohl akzeptieren, denn unendlich hat keinen festen Wert. Wenn dieser Bruch auf eine andere Art entsteht, gibt es eine Lösung, denn
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Hier geht es um n→∞ und das bedeutet: Es nähert sich unendlich, aber ist es nicht. Im Zähler und im Nenner handelt es sich um den gleichen (unendlichen) Wert, deswegen ist die Division erlaubt. Jetzt geht es richtig los
0 × ∞ = ?
So merkwürdig ist das nun auch nicht. Die Zahl 0 (Mathematiker haben entschieden, dass es eine Zahl ist) kann Probleme bereiten, und ∞ ist nicht mal eine Zahl. Sieh dir die Division noch einmal an, da wurde dieses Ergebnis schon angedeutet. Das ist eigenlich nicht so erstaunlich. Zusätzlich noch dividieren durch unendlich klein. Das kann man schreiben als
Hier rechnet man mit Δx→0+, es bedeutet: Es nähert sich 0 aus dem Positiven her, aber ist nicht gleich 0 und deswegen ist diese Division zulässig. Man kann es noch bunter treiben, dann schreibt man einfach etwas wie
,
,
,
und so weiter.
Es ist bestimmt lustig, aber das wollen wir hier nicht erörtern.