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Reihe für den Logarithmus

Die Mercatorreihe ergibt eine Taylorreihe für den natürlichen Logarithmus (lateinisch: logarithmus naturalis)

 


Erläuterung

Die Identität für Reihen lautet

Wir wandeln dies in eine besser verwendbare Formel um und ersetzen r = – t

Jetzt dividieren wir durch 1 + t und erhalten

Dies ist

Für |t| < 1 und → ∞ gilt tn+1→ 0, so dass

Dies ist eine elegante Formel, die wir leicht integrieren können

Berechnet man die Umkehrung der Ableitung des Logarithmus, so ergibt sich

 


Beispiel 1

Man kann sehen, dass ln (1) = 0, denn

ln (1) = 0 − 0 + 0 − 0 + ⋯ = 0

 


Geschichte

Der deutsche Mathematiker Nikolaus Mercator verwendete den lateinischen Namen "logarithmus naturalis" in seiner Abhandlung Logarithmo-technica von 1668.


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