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Reihe für den inversen hyperbolischen Sinus
Der inverse hyperbolische Sinus hat die Reihenentwicklung
Erläuterung
Die erste Ableitung vom inversen hyperbolischen Sinus ist
Wir bestimmen die weiteren Ableitungen
An der Stelle x = 0 bekommt man
Wir füllen die Taylorreihe hiermit aus
Jetzt sehen wir eine Regelmäßigkeit, denn
sodass
Die Reihe ist eine ungerade Funktion, denn die Exponenten sind alle ungerade.
Allgemeine Form
Die Reihe kann man als Summe schreiben
Beispiel 1
Man kann sehen, dass sinh-1(0) = 0, denn
sinh-1(0) = 0 − 0 + 0 − 0 + 0 ... = 0