Reihe für die Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion hat für alle Werte von x die Reihenentwicklung
Erläuterung
Wir wollen für die Funktion f (x) = ex eine Reihe entwickeln. Hierbei gilt
und für x = 0 hat es den Wert 1. Lass uns mal etwas ausprobieren. Wir nehmen zuerst die einfache unendliche Reihe
die wir auch schreiben können als
und das sieht eigentlich noch nicht mal so schlecht aus, denn da haben wir schon mal den Wert 1. Bei der Differenzialrechnung verringern sich die Potenzen um 1. Also muss jeder Term die Ableitung des nächsten Terms sein. Deswegen entscheiden wir uns für
Jetzt ergibt die Differenzialrechnung
und das ist tatsächlich identisch mit unserer Ausgangsformel. Diese Reihe konvergiert für alle Werte von x und ist für x = 0 gleich 1. Wir stellen also fest
Viele Wege führen nach Rom.