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Reihe für die Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion hat für alle Werte von x die Reihenentwicklung

 


Erläuterung

Wir wollen für die Funktion f (x) = ex eine Reihe entwickeln. Hierbei gilt

und für x = 0 hat es den Wert 1. Lass uns mal etwas ausprobieren. Wir nehmen zuerst die einfache unendliche Reihe

die wir auch schreiben können als

und das sieht eigentlich noch nicht mal so schlecht aus, denn da haben wir schon mal den Wert 1. Bei der Differenzialrechnung verringern sich die Potenzen um 1. Also muss jeder Term die Ableitung des nächsten Terms sein. Deswegen entscheiden wir uns für

Jetzt ergibt die Differenzialrechnung

und das ist tatsächlich identisch mit unserer Ausgangsformel. Diese Reihe konvergiert für alle Werte von x und ist für x = 0 gleich 1. Wir stellen also fest

Viele Wege führen nach Rom.

 


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