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Reihe für die Zahl e
Die Zahl e = 2,7182… hat die Reihenentwicklung
Erläuterung
Wir fangen an mit der Funktion
Substitution in die Definition der Ableitung ergibt
Ausarbeiten liefert dann
Für x = 0 wird das
Das ist eine Konstante, denn es enthält kein x mehr. Der Wert hängt nur ab von a, die Basis. Darum kann man schreiben
Jetzt möchten wir wissen für welchen Wert von a die Funktion f ′(0) = 1 ist, denn in diesem Falle wird f ′(x) = ax, und ist die Funktion ihre eigene Ableitung.
Also rechnen wir
Multiplizieren mit h
Verschieben
Vereinfachen
Nimm , und wegen h → 0 liefert das n → ∞, und also ist
Wir benutzen die Binomium Entwicklung und bekommen
Es ging um den Grenzwert, also schreiben wir
Wenn wir auf den verschiedenen Termen mehrmals den Satz von de l'Hospital anwenden ergibt das
Die einzelnen aufeinanderfolgenden Terme ergeben
1 = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
-------
e = 2,718…
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