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Serie del número e

El número e = 2,7182… tiene el desarrollo de la serie

 


Explicación

Empezamos con la función exponencial

Sustitución en la definición de la derivada da

y entonces

Para x = 0 se convierte en

Esto es una constante, porque no hay un x. El valor depende solamente de a, la base. Por lo tanto puedes escribir

Ahora nos gustaría saber para qué valor de a el función f ′(0) = 1, porque entonces f ′(x) = ax, y la función es sa propia derivada. Así calculaos

Multiplicar por h

Ordenando

Potenciación

Simplificando

Establece , y porque → 0 ofrece → ∞, así es

Utilizamos el desarrollo del binomio

Porque es un límite, podemos escribir

Si aplicamos la regla de l'Hôpital varias veces en los diferentes términos, obtenemos

Los términos siguientes dan entonces

1     = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
           -------
  e   = 2,718…

La respuesta es exacta hasta 3 lugares.

 


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