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DL du nombre e
Le nombre e = 2,7182… a le développement limité
Explication
Nous commençons par la fonction
La substitution dans la définition du dérivé donne
L'évaluation montre
Pour x = 0 vous obtenez
C'est une constante, car elle ne contient aucune variable x. La valeur dépend seulement de a, la base. Vous pouvez donc écrire
Maintenant nous voulons savoir pour quelle valeur de a la fonction f ′(0) = 1, car alors f ′(x) = ax, et la fonction est sa propre dérivée. Nous calculons donc
Multiplier par h
Déplacer
Simplifier
Mettez , et parce que h → 0 cela mène à n → ∞, et donc
Avec le développement binomial, vous obtiendrez
C'était à propos de la limite, donc nous écrivons
Si l'on applique plusieurs fois la règle de l'Hôpital aux différents termes, cela donne
Les termes suivants donnent
1 = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
-------
e = 2,718…
Le résultat est correct pour 3 chiffres.