< 1 >
Ряд для числа e
Число e = 2,7182… является суммой обратных факториалов и имеет эволюцию ряда
Пояснение
Подстановка экспоненциальной функции f (x) = ax в определение производной дает
Сокращение дает
Для x = 0 получается
Это константа, потому что в ней нет больше x. Значение зависит только от a - основания. Поэтому можно записать
Теперь мы хотели бы знать, при каком значении a функция f ′(0) = 1, потому что тогда f ′(x) = ax, а функция является собственной производной. Поэтому мы вычислим
Умножить на h
Сдвиг
Упростить
Предположим, что , и так как h → 0, то n → ∞, а значит
Теперь воспользуйтесь биномиальным развитием, тогда вы получите
Вопрос заключался в пределе, поэтому мы пишем
Если мы несколько раз применим правило де л'Эпиталя к различным членам, это даст
Таким образом, последовательные члены дают
1 = 1,0000
1/1! = 1,0000
1/2! = 0,5000
1/3! = 0,1667
1/4! = 0,0417
1/5! = 0,0083
1/6! = 0,0014
-------
e = 2,718…
Ответ точен с точностью до 3 знаков.
ИсторияПоследовательность обычно записывается как |