Reeks voor de logaritme
Met een identiteit kun je de reeksontwikkeling van de natuurlijke logaritme berekenen als
Uitleg
De identiteit voor reeksen is
Dit rekenen we om tot een beter bruikbare formule, en vervangen r = – t
Nu delen we door 1 + t en krijgen
Dit is
Voor |t| < 1 en n → ∞ geldt tn+1→ 0 zodat
Hier zien we de afgeleide van de logaritme en kunnen daarom beide leden integreren als
met als resultaat
Substitutie van x = x – 1 geeft dan
Voorbeeld 1
Je kunt zien dat ln (1) = 0, want
ln 1 = (0) − (0) + (0) − (0) + ⋯ = 0