Série pour le logarithme
Le logarithme a le développement limité
Explication
Pour calculer une série de logarithmes, nous ne pouvons pas travailler avec f (x) = ln x, puisqu'elle n'est pas définie pour x = 0. Nous prenons donc
ce qui donne un résultat utile. Nous allons différencier plusieurs fois cette fonction
qui peut généralement s'écrire comme
C'est une régularité étonnante. Nous allons remplir la série de Taylor avec ceci
La substitution de x = x – 1 donne la forme finale
Exemple 1
Vous pouvez voir que ln 1 = 0, parce que
ln 1 = 0 − 0 + 0 − 0 + ⋯ = 0
Exemple 2
Vous pouvez voir que ln 2 est une série infinie harmonique alternée
ln 2 = 1 − ½ + ⅓ − ¼ + ⋯