Satz von de l'Hospital für ∞/∞
Nehmen wir an, dass für alle x in einem reellen offenen Intervall (c, b) sowohl f ′(x) als auch g ′(x) existieren und g ′(x) ≠ 0. Nehmen wir an, dass
und
Wenn limx→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)) existiert, dann gilt den Satz von de l'Hospital
Erläuterung
Sei L = limx→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)). Der Mittelwertsatz besagt, dass es für jede reelle Lösung von
c < x < y < c + r
auch eine Teillösung gibt von
x < t < y,
was wir schreiben als
x < t < y,
Es sei y1 ≈ c und y1 > c. Dann sind f (y1) und g (y1) positiv unendlich, und damit auch ihr Produkt K = f (y1) g (y1). Durch die M, δ Bedingung für limx→ c⁺ g ′(x) = ∞ gibt es für jedes reelle M ein reelles δ (M) , so dass jede reelle Lösung von
c < x < c + δ (M)
eine Lösung von g (x) > M ist. Sei δ1 so, dass 0 < δ1≤ δ (K) und c + δ1 < y1. Man nehme ein beliebiges x1 mit c < x1 < c + δ1. Dann besagt das Übertragungsprinzip, dass g (x1) > K. Außerdem gilt
c < x1 < y1 < c + x
Nach dem Satz von den partiellen Lösungen gibt es also ein t1, so dass die Formel gilt. Dann ist
Es gilt auch
also (f (y1) / g (x1)) ≈ 0. Analog dazu ist (g (y1) / g (x1)) ≈ 0. Für den Standardteil der Formel erhalten wir
derart, dass
Da dies für c < x1 < c + δ1 gilt, ergibt sich aus der Definition des Grenzwerts, dass
GeschichteDer deutsch-amerikanische Mathematiker Abraham Robinson beschrieb Anfang der 1960er Jahre diesen Satz des französischen Mathematikers Guillaume de l'Hospital auf diese Weise. |