Règle de l'Hospital pour ∞/∞
Supposons que pour tout x dans un certain intervalle ouvert réel (c, b), à la fois f ′(x) et g ′(x) existent et g ′(x) ≠ 0. Supposons que
et
Si limx→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)) existe, alors il s'appique la règle de l'Hospital
Explication
Soit L = limx→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)). Par le théorème des accroissements finis, toute solution réelle de
c < x < y < c + r
est une solution partielle de
x < t < y,
que nous écrivons comme
x < t < y,
.
Soit y1 ≈ c et y1 > c. Alors f (y1) et g (y1) sont infinis positifs, et leur produit K = f (y1) g (y1) l'est aussi. Par la condition M, δ pour limx→ c⁺ g ′(x) = ∞, pour tout réel M, il existe un réel δ (M) tel que toute solution réelle de
c < x < c + δ (M)
est une solution de g (x) > M. Soit δ1 tel que 0 < δ1≤ δ (K) et c + δ1 < y1. Considérons tout x1 avec c < x1 < c + δ1. Par le principe de transfert, g (x1) > K. De plus,
c < x1 < y1 < c + x
donc par le théorème des solutions partielles, il existe un t1 tel que la formule se vérifie. Alors
.
De plus,
donc (f (y1) / g (x1)) ≈ 0. De même (g (y1) / g (x1)) ≈ 0. En prenant les parties standard de la formule, on a
d'où
Puisque ceci est valable pour c < x1 < c + δ1 on voit d'après la définition de la limite que
HistoireLe mathématicien germano-américain Abraham Robinson a décrit de cette façon la règle du mathématicien français Guillaume de l'Hospital au début des années 1960. |