Regel van l'Hôpital voor ∞/∞
Neem aan dat voor alle x in een of ander reëel open interval (c, b), zowel f ′(x) en g ′(x) bestaan en
en
Als de limx→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)) bestaat, dan geldt de regel van L'Hôpital
Uitleg
Zij L = limx→ c⁺ (f ′(x) / g ′(x)). De middelwaardestelling zegt dat er voor elke reële oplossing van
c < x < y < c + r
ook een gedeeltelijke oplossing bestaat van
x < t < y,
wat we schrijven als
x < t < y,
Zij y1 ≈ c en y1 > c. Dan zijn f (y1) en g (y1) positief oneindig, en dus ook hun product K = f (y1) g (y1). Door de M, δ voorwaarde voor limx→ c⁺ g ′(x) = ∞ is er voor elke reële M een reële δ (M) zodat elke reële oplossing van
c < x < c + δ (M)
een oplossing van g (x) > M is. Zij δ1 zodat 0 < δ1≤ δ (K) en c + δ1 < y1. Neem een willekeurige x1 met c < x1 < c + δ1. Het overdrachtsprincipe zegt dan dat g (x1) > K. Bovendien geldt
c < x1 < y1 < c + x
dus volgens het partiële oplossingen theorema is er een t1 zodat de formule geldt. Dan is
Tevens geldt
dus (f (y1) / g (x1)) ≈ 0. Evenzo is (g (y1) / g (x1)) ≈ 0. Voor de standaarddelen van de formule krijgen we
zodat
Omdat dit geldt voor c < x1 < c + δ1 zien we uit de definitie van de limiet dat
GeschiedenisDe Duits-Amerikaanse wiskundige Abraham Robinson beschreef op deze manier de regel van de Franse wiskundige Guillaume de l'Hospital in het begin van de jaren 1960. |