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正弦

指数函数的正弦函数写为

 


解释

在正弦的数列中,只有奇数指数

我们将所有条款乘以 2i,得到

通过转换为虚数单位,所有条款都得到一个加号

这也可以写成

在此基础上,我们再加上和减去偶数指数

重新排列后得到

括号之间有两组指数函数,所以我们有

那么

 


几何学解释

通过单位圆,你可以计算出 eixe−ix 两点之间的垂直距离为 eix − e−ix |

因此,对于正弦

i · sin x = ½ (eix − e−ix)

 


例1

你可以看到,sin (2π) = 0,因为

 


例2

你可以看到,sin (½π) = 1,因为

 


历史

这个正弦波的公式是由瑞士数学家萊昂哈德·歐拉描述的。


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