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Sinus

Le sinus peut se définier par des fonctions exponentielles comme

 


Explication

Dans le développement limité du sinus il y a seulement des exposants impaires

Nous multiplions tous les termes avec 2i et obtenir

Par conversion avec l’unité imaginaire, tous les termes obtenons un signe plus

Vous pouvez également écrire comme

Nous ajoutons des exposants paires et soustrairent les tout de suite

Réarrangeant donne

Entre parenthèses il y a deux développements limités du fonctions exponentielles, à savoir

alors

 


Explication géométrique

Le cercle unité vous permet de calculer la distance verticale entre les points eix et e−ix comme | eix − e−ix |.

Par conséquent, pour le sinus s'applique

i · sin x = ½ (eix − e−ix)

 


Exemple 1

On voit que sin (2π) = 0, parce que

 


Exemple 2

On voit que sin (½π) = 1, parce que

 


Histoire

Cette formule pour le sinus a été décrite par le mathématicien suisse Leonhard Euler.

 


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