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Théorème de Riemann
La somme des termes d'une série harmonique infinie alternée conditionnellement convergente dépend de l'ordre dans lequel les termes sont ajoutés.
Exemple 1
Nous commençons par la série harmonique alternée
Maintenant, nous divisons par 2 et ajoutons un zéro devant chaque terme
En additionnant les deux séries terme-à-terme, on obtient
Si nous enlevons les zéros, il est clair que chaque terme n'apparaît qu'une seule fois, mais dans un ordre différent
Nous obtenons donc exactement la même série harmonique, mais avec 
de la valeur originale.
HistoireLe théorème a été élaboré en détail par le mathématicien allemand Bernhard Riemann (1826 - 1866). |