< 1 2 >
Kwadratische functie
Een tweedegraadsfunctie schrijf je als
 = ax² + bx + c.gif){kind=small}
Uitleg
Een functie van de tweede graad kun je ontbinden in factoren om de nulpunten te vinden. Vaak kun je de oplossing door even nadenken vinden, want meestal geldt a = 1. Dat zie je duidelijk aan
Als de oplossing niet eenvoudig is kun je hiervoor een formule gebruiken. Die gaan we hier ontwikkelen, en beginnen met de algemene vorm
We halen a buiten haakjes
Voor de kwadraten gaan we naar een binomische formule toewerken
en schrijven deze uit
De term waar nu alleen nog een x in staat zonderen we af
Hier kun je twee oplossingen voor vinden
|
en |
||
|
en |
||
|
en |
Alternatief
Als de waarde van b groot is kun je de formules als alternatief nog verder ontwikkelen en dan krijg je
en
Als je het zo ziet is het allemaal vrij eenvoudig. Nu kunnen we ook uitrekenen
en
Dat wisten we natuurlijk al lang. Hiermee kunnen we de x coördinaat van de top uitrekenen, want die ligt precies midden tussen x1 en x2.
Voorbeeld 1
Dit levert op (x − 3)(x + 5) = 0 maar dat hadden we ook uit het hoofd kunnen berekenen. De alternatieve formules leveren
Bovendien zien we dat
of met de formule
of met de formule
hieruit volgt dat
Er zijn veel verschillende mogelijkheden om de coördinaten van de top te berekenen. Het hangt er van af hoe ver je al in de wiskunde gevorderd bent. Om het beeld compleet te maken volgt hier vast de uitleg.
In het voorbeeld y = x2 + 2x + 15 vind je de top door de laagste waarde van de functie te berekenen. Dat kun je doen door een kwadraat af te splitsen
Een kwadraat is altijd positief, en de laagste waarde is 0. Dat treedt op bij x = –1 en dan is y = –16. Dat zie je zo meteen voor je.
Het gaat ook met differentiëren. Daarmee kun je de mate van stijging van een continue functie bepalen. Dit is de tangens, die we hier ook wel de richtingscoëfficiënt (RC) noemen. Als die precies horizontaal is heb je de top gevonden. We nemen weer de functie
en bepalen de eerste afgeleide
De tangens heeft in de top de waarde 0, dus
Dit is veruit de eenvoudigste manier.