< 1 >
الكسور
In de wiskunde werk je soms met termen die oneindig klein zijn. In de loop van een berekening worden deze weggelaten, omdat ze verwaarloosbaar zijn.
في الرياضيات، تتعامل أحيانًا مع حدود متناهية الصغر. في سياق عملية حسابية، يتم حذفها لأنها مهملة.
Kleine overgangen
Bij differentiëren met behulp van Δx ontstaan overgangen van
en van
Voor het product f g geldt dan
De toename bestaat uit de drie termen
Voor de afgeleide van het product f g krijgen we zo
De laatste term is verwaarloosbaar klein, want
en dat gaat hoe dan ook naar 0. De productregel luidt daarom
( f g )' = f′ g + f g′
Als er bij een berekening oneindig kleine termen overblijven mag je die verwaarlozen.
Kleine toenamen
Bij het berekenen van het getal e gebruiken we de formule
en kijken hoe je aan de goede uitkomst kunt komen. We beginnen voorzichtig met gewone getallen te rekenen
en zien dat de uitkomst elke keer iets groter wordt, ofschoon de waarde van de breuk steeds verder af neemt. Uiteindelijk werk je met oneindig kleine termen, maar die mag je hier niet verwaarlozen.
Differentialen
Voor de differentiaal van de logaritme geldt
Logaritmen aftrekken levert
Substitutie hiervan in de reeks voor de logaritme geeft
Omdat alle differentialen van de tweede orde en hoger verwaarloosbaar zijn mag je schrijven
Na substitutie krijg je dan
Het getal 1
Het getal 1 kun je met een oneindig aantal decimalen schrijven als
De drie punten geven aan dat er oneindig veel cijfers achter de komma staan. Dat kun je met een breuk berekenen
Er wordt wel gezegd dat 0,999999…in het oneindige 1 benaderd. Dat klinkt indrukwekkend, maar niemand kan zich voorstellen wat oneindig is. Voor ons gevoel zit er een verwaarloosbaar verschil tussen 0,999999… en 1. Dat klopt echter niet. Het zijn gewoon twee verschillende manieren waarop hetzelfde getal geschreven kan worden.
Limieten
In principe mag een oneindig kleine waarde in een berekening verwaarloosd worden. Als die daarin echter oneindig vaak voor komt mag het niet. Dat is een soort vuistregel. We weten dat geldt
En dan mag je zeker
niet verwaarlozen. In elke berekening moet je de wiskundige regels strikt toepassen. Je gebruikt daarom in deze gevallen limieten, want dan weet je dat er met benaderingen gewerkt wordt. Waar dat nodig is om verwarring te voorkomen schrijf je dan
of
Op zich is het duidelijk wanneer je een oneindig kleine waarde mag verwaarlozen.
Gereduceerde snelheid
In de speciale relativiteit is de gereduceerde snelheid β gedefinieerd als de verhouding van een snelheid tot de lichtsnelheid
In de klassieke natuurkunde heeft deze breuk een oneindig kleine waarde (β→0) en komt daarom in de betreffende formules niet voor.