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Vernachlässigbar
In der Mathematik arbeitet man manchmal mit Terme die unendlich klein sind. Im Laufe einer Berechnung werden diese weggelassen, da sie vernachlässigbar sind.
Kleine Übergänge
Beim Differenzieren mit Verwendung von Δx entstehen Übergänge von
und von
Für den Produkt f g gilt dann
Die Zunahme besteht aus drei Terme
Die Ableitung vom Produkt f g ergibt deswegen
Der letzte Term ist vernachlässigbar, denn
und das wird auf jeden Fall 0. Die Produkregel lautet darum
Wenn in einer Berechnung unendlich kleine Terme übrigbleiben darf man sie vernachlässigen.
Kleine Zunahmen
Beim Berechnen der Zahl e benutzen wir die Formel
und probieren die richtige Antwort zu bekommen. Wir fangen an mit einfachen Zahlen und rechnen
Das Ergebinis wird jedesmal etwas größer, obwohl die Bruchzahl immer weiter abnimmt. Zuletzt wird mit unendlich kleinen Termen gearbeitet, die hier jedoch nicht vernachlässigt werden dürfen.
Differentialen
Für den Differential eines Logarithmus gilt
Logarithmen subtrahieren liefert
Substitution in die Reihe für den Logarithmus ergibt
Da alle Differentialen zweiter Ordnung und höher vernachlässigbar sind darf man schreiben
Nach substitution erhält man dann
Die Zahl 1
Die Zahl 1 kann man mit unendlich vielen Dezimalen schreiben als
Die drei Punkte bedeuten, dass es unendlich viele Nachkommastellen gibt. Das kann man mit einem Bruch berechnen
Es wird gesagt, dass 0,999999… im Unendlichen 1 nähert. Das klingt beeindruckend, aber niemand kann sich vorstellen, was unendlich ist. Für unser Empfinden gibt es ein vernachlässigbarer Unterschied zwischen 0,999999... und 1. Das ist jedoch nicht richtig. Es sind nur zwei verschiedene Arten, in denen die gleiche Zahl geschrieben werden kann.
Grenzwerte
Im Prinzip kann eine unendlich kleiner Term in einer Berechnung vernachlässigt werden. Wenn es darin jedoch unendlich oft vorkommt darf das nicht. Das ist eine Art Faustregel. Wenn man mit 0 rechnet, muss man immer Acht geben, denn
und man darf
auf gar keinen Fall vernachlässigen. In jeder Berechnung müssen die mathematische Regeln strickt angewendet werden. Deswegen werden in solche Fällen Grenzwerte benutzt, denn dann weiß man, dass mit Näherungen gearbeitet wird. Wo Verwirrung entstehen kann schreibt man darum
oder
An und für sich ist klar, wann man ein unendlich kleiner Term vernachlässigen darf.