< 1 >
Незначительными
В математике иногда приходится работать с бесконечно малыми величинами. В ходе расчета они опускаются, поскольку являются незначительными.
Небольшие переходы
При дифференцировании с помощью Δx, переходы
и от
Для произведения f g, тогда
Увеличение состоит из трех члены
Для производной от произведения f g, таким образом, получаем
Последний член пренебрежимо мал, потому что
и в любом случае он равен 0. Таким образом, правило о произведениеме гласит
( f g )' = f′ g + f g′
Если в расчете остаются бесконечно малые члены, ими можно пренебречь.
Малые приращения
При вычислении числа e мы используем формулу
и узнайте, как добиться нужного результата. Начнем вычисления осторожно с обычных чисел
и увидите, что результат каждый раз немного увеличивается, хотя значение дроби продолжает уменьшаться. В конце концов, вы работаете с бесконечно малыми членами, но ими не следует пренебрегать.
Дифференциалы
Для дифференциала логарифма применяется
Вычитание логарифмов дает
Подставив это в ряд для логарифма, получаем
Поскольку все дифференциалы второго порядка и выше пренебрежимо малы, можно записать
После подстановки вы получите
Число 1
Число 1 с бесконечным числом десятичных знаков можно записать как
Три точки указывают на бесконечное число десятичных знаков. Вы можете вычислить это с помощью дроби
Говорят, что 0,999999… приближается к 1 в бесконечности. Это звучит впечатляюще, но никто не может представить, что такое бесконечность. На наш взгляд, разница между 0,999999… и 1 ничтожно мала. Однако это не так. Это просто два разных способа записи одного и того же числа.
Лимиты
В принципе, бесконечно малым значением можно пренебречь при расчете. Однако если она встречается в нем бесконечно часто, то может и не встретиться. Это своего рода эмпирическое правило. Мы знаем, что
И тогда вы, конечно, можете
не должны пренебрегать этим. В любом расчете необходимо строго придерживаться математических правил. Поэтому в таких случаях вы используете пределы, потому что тогда вы знаете, что работаете с приближениями. Там, где это необходимо, чтобы избежать путаницы, вы пишете
или
Само по себе понятно, когда можно пренебречь бесконечно малым значением.
Снижение скорости
В специальной теории относительности уменьшенная скорость β определяется как отношение скорости к скорости света
В классической физике эта дробь имеет бесконечно малое значение (β→0) и поэтому не фигурирует в соответствующих формулах.