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Vollständige Induktion
Eine vollständige Induktion wird in der Regel durch eine unvollständige Induktion vorausgegangen, die dazu dient, die Formel zu erraten.
Beispiel 1
Suche die Summe Sn der dritten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen, also
Sukzessive liefert das
und man bekommt die zweite Potenzen der Zahlen 1, 3, 6, 10, 15 und so weiter. Natürlich, vermuten wir, dass dies so weiter geht. Für die nächsten Nummern gilt daher
wegen
Eine Prüfung zeigt, dass es stimmt, und wir raten, dass die Summe Sn die zweite Potenz davon ist, also
Jetzt kommt der Schritt von n auf n + 1 und wir erhalten
Dieses Ergebnis entsteht auch wenn man in der ursprünglichen Formel für die Summe, das n ersetzt durch n + 1. Somit ist die Formel
durch vollständige Induktion bewiesen.